Question

16．已知：∠ABP=30°，∠PBC=10°，∠PCB=10°，∠ACP=10°．求：∠BAP的度数．

Answer 1

分析 先过点A作AD⊥BP于D，延长AD至点N，使得AD=ND，设ND交BC于M，连接BN，在BC上截取点Q，使得CA=CQ，连接AQ，NQ，PQ，延长CP交AQ于E，则AC=QC，∠ACP=∠BCP，进而得出AP=QP，以及AQ=BQ，再根据三角形内角和定理得到AQ=AM，∠QAM=20°，进而得出∠ABN=60°，即△ABN是等边三角形，而∠ANQ=$\frac{1}{2}$∠ANB=30°，最后根据P为△AQN的外心，得到∠APN=2∠QNA+2∠QAN=100°，进而得出△APN中，∠NAP=$\frac{1}{2}$（180°-100°）=40°，即可得到∠BAP=60°+40°=100°．

解答 解：如图所示，过点A作AD⊥BP于D，延长AD至点N，使得AD=ND，
设ND交BC于M，连接BN，在BC上截取点Q，使得CA=CQ，连接AQ，NQ，PQ，延长CP交AQ于E，则AC=QC，∠ACP=∠BCP，
∴AE=QE，CE⊥AQ，
∴AP=QP，
∵△ACQ中，∠ACQ=20°，
∴∠CAE=80°，
∵∠ABQ=30°+10°=40°，∠AQC=80°，
∴∠BAQ=80°-40°=40°，
∴AQ=BQ，
∵Rt△BDM中，∠AMB=80°，
∴∠AQM=∠AMQ=80°，
∴AQ=AM，∠QAM=20°，
∴∠BAN=60°，
∵BP垂直平分AN，∠ABP=30°，
∴∠ABN=60°，即△ABN是等边三角形，
∴NB=NA，
又∵QB=QA，
∴易得△BQN≌△AQN，
∴∠ANQ=$\frac{1}{2}$∠ANB=30°，
由BP垂直平分AN，可得AP=NP，
又∵AP=QP，
∴P为△AQN的外心，
∴∠APN=2∠QNA+2∠QAN=100°，
∴△APN中，∠NAP=$\frac{1}{2}$（180°-100°）=40°，
∴∠BAP=60°+40°=100°．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，圆的外心以及三角形外角性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及等腰三角形，依据等边三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算求解．