Question

【题目】平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．

发现：

（1）当α＝0°，即初始位置时，点P 直线AB上(选填“在”或“不在”)．

当α= 时，OQ经过点B；

（2）在OQ旋转过程中，α= 时，点P，A间的距离最小？PA最小值为 ；

（3）探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．

Answer 1

【答案】（1）在，15°；（2）60°，1；（3）或或．

【解析】

试题分析：（1）如图1所示，过点P作PA′⊥OD，垂足为A′．在△A′OP中利用利用特殊锐角三角函数可求得OA′=1，由OA=1，从而可求得点A与点A′重合，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可知点P在AB上；如图2所示：由△ABO为等腰直角三角形可知∠AOB=45°，从而可求得∠QOQ′=15°；

（2）（2）如图2，连接AP，由OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，于是有AP≥OP-OA=2-1=1，当α=60°时，P、A之间的距离最小，即可求得结果；

（3）半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；

①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，于是得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，，在Rt△OSK中，求出OS==2，在Rt△OSO′中，SO′=OStan60°=2，KO′=2- 3 在Rt△KGO′中，∠O′= =30°，求得KG= KO′=，在Rt△KGO中，求得结果；②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα的值③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，得到α=60°于是结论可求．

试题解析：（1）在，

当OQ过点B时，在Rt△OAB中，AO=AB，

∴∠DOQ=∠ABO=45°，

∴α=60°﹣45°=15°；

（2）如图2，连接AP，

∵OA+AP≥OP，

当OP过点A，即α=60°时，等号成立，

∴AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，

∴当α=60°时，P、A之间的距离最小，

∴PA的最小值=1；

（3）半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；

①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，

则∠KSO=∠KTB=90°，

作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，

OS==2，

在Rt△OSO′中，SO′=OStan60°=2，KO′=2-，

在Rt△KGO′中，∠O′=30°，

∴KG=KO′=，

∴在Rt△OGK中，sinα=，

②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得

sinα=；

③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，=60°，

∴sinα=sin60°=，

综上所述sinα的值为：或或．