Question

【题目】如图，已知在ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点E与点M在AC所在直线的两侧，AE⊥AB，AE＝BC，点N在AC边上，CN＝AM，连接ME、BN；

（1）根据题意，补全图形；

（2）ME与BN有何数量关系，判断并说明理由；

（3）点M在何处时BM+BN取得最小值？请确定此时点M的位置，并求出此时BM+BN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）ME＝BN，理由见解析；（3）当B，M，E三点共线时，BM+BN的最小值是．

【解析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）如图1，延长AM交BC于点F，根据角平分线的等于及垂直的等于可得∠MAE+∠CAM＝90°，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AF⊥BC，可得∠C+∠CAM＝90°，即可证明∠MAE=∠C，利用SAS即可证明△AME≌△CNB，根据全等三角形的性质可得ME=BN；

（3）由（2）知ME＝BN，则当B，M，E三点共线时，此时BM+BN取得最小值，根据勾股定理求出BE的长即可得答案．

（1）如图1所示：

（2）ME＝BN．

如图1，延长AM交BC于点F，

∵AM平分∠BAC，

∴∠BAM＝∠CAM．

∵AE⊥AB，

∴∠MAE+∠BAM＝90°．

∴∠MAE+∠CAM＝90°

∵AB＝AC，AM平分∠BAC，

∴AF⊥BC．

∴∠C+∠CAM＝90°．

∴∠MAE＝∠C．

又∵AM＝CN，AE＝BC，

∴△AME≌△CNB（SAS）．

∴ME＝BN．

（3）由（2）知ME＝BN，则当B，M，E三点共线时，此时BM+BN取得最小值，点M的位置如图2，

∴BE即是BM+BN的最小值，

∵AB＝5，BC＝6，

∴AE＝BC＝6，

∴BE＝＝＝．

∴BM+BN的最小值是．