Question

20．若α为锐角，且sinα+cosα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求sinα-cosα的值．

Answer 1

分析 先根据（sinα+cosα）²求出2sinαcosα的值，再计算（sinα-cosα）²的值，最后开方可得结果．

解答 解：∵sin²α+cos²α=1，
∴（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+2sinαcosα，
∵sinα+cosα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴1+2sinαcosα=$\frac{3}{2}$，
∴2sinαcosα=$\frac{1}{2}$，
∴（sinα-cosα）²=sin²α+cos²α-2sinαcosα=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵α为锐角，
∴sinα-cosα=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了同角的三角函数和完全平方式，熟练掌握sin²α+cos²α=1是关键，注意最后开方运算时，sinα-cosα为两种情况．