【题目】如图,抛物线交轴于、两点,为抛物线上一点,且横纵坐标相等(原点除外),为抛物线上一动点,过作轴的垂线,垂足为,并与直线交于点.
(1)求、两点的坐标.
(2)当点在线段上方时,过作轴的平行线与直线相交于点,求周长的最大值及此时点的坐标.
【答案】(1)点坐标为,点的坐标为;(2)周长的最大值为,点坐标为.
【解析】
(1)利用待定系数法即可解决问题;
(2)设点的坐标为,则,Q点的坐标为(n,0),轴,得出是等腰直角三角形,进而得出当取最大值时,周长最大, PC即可用含a的代数式表示出来,利用二次函数的性质即可解决最值问题
解:(1)令,则,
解得,,
∴点坐标为,
设点坐标为,把代入得,
,
解得,(舍去),
∴点的坐标为;
(2)如图,设点的坐标为,
∵点坐标为,
∴,
∴,
∴.
∵轴,
∴是等腰直角三角形,
∴当取最大值时,周长最大.
∵与线段相交,
∴.
由可知,抛物线的对称轴为直线,在对称轴左侧随的增大而增大.
∴当时,最大,的最大值为
∴,,
∴的周长为.
∴周长的最大值为,
把代入的坐标,得
∴点坐标为.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)利用尺规作图,在BC边上求作一点P,使得点P到边AB的距离等于PC的长;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
(2)在(1)的条件下,以点P为圆心,PC长为半径的⊙P中,⊙P与边BC相交于点D,若AC=6,PC=3,求BD的长.
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【题目】如图,直线与相离,过点作,垂足为,交于点.点在直线上,连接并延长交于点,在直线上另取一点,使.
(1)求证:是的切线;
(2)已知,,.
①求的半径;
②求的面积.
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【题目】某商店购进一批成本为每件 30 元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式;
(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于 50 元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润 w(元)最大?最大利润是多少?
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元,则每天的销售量最少应为多少件?
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【题目】已知抛物线C:y1=a(x﹣h)2﹣1,直线l:y2=kx﹣kh﹣1.
(1)求证:直线l恒过抛物线C的顶点;
(2)当a=﹣1,m≤x≤2时,y1≥x﹣3恒成立,求m的最小值;
(3)当0<a≤2,k>0时,若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点,求k的取值范围.
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③<a<;④b>c.其中含所有正确结论的选项是( )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
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【题目】如图,把一块含有30°角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中,BC边落在x轴的正半轴上,点A在第一象限内,∠ACB=90°,∠CAB=30°,AC=4,沿着AB翻折三角尺,直角顶点C落在C′处.设A、C′两点的横坐标分别为m、n.
(1)试用m的代数式表示n;
(2)若反比例函数y=(x>0)的图象恰好经过A、C′两点,求k的值.
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【题目】某校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,随机选取该校部分学生进行调查,要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目,以下是根据调查结果绘制的不完整统计表,根据表中信息,回答下列问题:
(1)本次共调查了______名学生;
(2)若将各类电视节目喜爱的人数所占比例绘制成扇形统计图,则“喜爱体育”对应扇形的圆心角度数是_________度;
(3)该校共有1500名学生,根据调查结果估计该校“喜爱体育”节目的学生人数.
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