Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到边AB的距离等于PC的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

（2）在（1）的条件下，以点P为圆心，PC长为半径的⊙P中，⊙P与边BC相交于点D，若AC＝6，PC＝3，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）如图所示，见解析；（2）BD的长为2．

【解析】

（1）根据题意可知要作∠A的平分线，按尺规作图的要求作角平分线即可；

（2）由切线长定理得出AC＝AE，设BD＝x，BE＝y，则BC＝6+x，BP＝3+x，通过△PEB∽△ACB可得出，从而建立一个关于x,y的方程，解方程即可得到BD的长度.

（1）如图所示：

作∠A的平分线交BC于点P，

点P即为所求作的点．

（2）作PE⊥AB于点E，则PE＝PC＝3，

∴AB与圆相切，

∵∠ACB＝90°，

∴AC与圆相切，

∴AC＝AE，

设BD＝x，BE＝y，

则BC＝6+x，BP＝3+x，

∵∠B＝∠B，∠PEB＝∠ACB，

∴△PEB∽△ACB

∴

∴

解得x＝2，

答：BD的长为2．