【题目】如图 ,已知直线l1,l2,点P在直线l3上且不与点A、B重合.记∠AEP=∠1,∠BFP=∠2,∠EPF=∠3.
(1) 如图 ,若直线l1//l2,点P在线段AB(A、B两点除外)上运动时,写出∠1、∠2、∠3之间的关系,并说明理由.
(2)如图 ,若(1)中∠1、∠2、∠3之间的关系成立,你能不能反向推出直线l1//l2?若成立请说明理由.
(3)如图 ,若直线l1//l2,若点P在A、B两点外侧运动时(不包括线段AB),请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系.
【答案】(1)∠3=∠1+∠2,理由见解析.(2)可以反推直线l1//l2.理由见解析.(3)当点P在A点上方时,∠3=∠2∠1.当点P在B点下方时,∠3=∠1∠2.
【解析】
(1)过P作直线l1、l2的平行线,利用平行线的性质得到∠1=∠QPE、∠2=∠QPF,然后结合这些等角和∠3的位置关系,即可∠1、∠2、∠3的数量关系;
(2)过点P作PQ1平行l1,由PQ1平行l1,得到∠1=∠Q1PE;又由∠3=∠Q1PE+∠Q1PF,且∠3=∠1+∠2,得到∠2=∠QPF,再根据平行线的判定法则进行求解即可得到答案.
(3)本题分两种情况讨论:当点P在A点上方时,过点P作PQ2∥l1∥l2,结合题意可得∠1=∠Q2PE、∠2=∠Q2PF;又由∠3=∠Q2PF∠Q2PE,可得∠3=∠2∠1.当点P在B点下方时,过点P作PQ3∥l1∥l2,则有图可知:∠1=∠Q3PE、∠2=∠Q3PF;根据∠3=∠Q3PE ∠Q3PF,可得∠3=∠1∠2.
(1)过P作PQ∥l1∥l2,
由两直线平行,内错角相等,可得:∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;
∵∠3=∠QPE+∠QPF,
∴∠3=∠1+∠2.
(2)可以反推直线l1//l2.理由具体如下:
过点P作PQ1平行l1,如下图(2)所示:
因为PQ1平行l1,所以∠1=∠Q1PE;又因为∠3=∠Q1PE+∠Q1PF,且∠3=∠1+∠2,所以可得∠2=∠QPF,则根据平行线的判定法则:内错角相等,两直线平行可知PQ1平行l2;又由于PQ1平行l1,PQ1平行l2,所以l1//l2.故反推成立.
(3)当点P在A点上方时,过点P作PQ2∥l1∥l2,如下图所示:
则:∠1=∠Q2PE、∠2=∠Q2PF;
∵∠3=∠Q2PF∠Q2PE,
∴∠3=∠2∠1.
当点P在B点下方时,过点P作PQ3∥l1∥l2,如下图所示:
根据题意我们设∠1=∠PEA、∠2=∠PFB、∠3=∠EPF;则有图可知:∠1=∠Q3PE、∠2=∠Q3PF;
∵∠3=∠Q3PE ∠Q3PF,
∴∠3=∠1∠2.
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【题目】已知:如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE,过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=.下列结论:①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+.其中正确结论的序号是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
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【题目】完成下面推理过程:
如图,已知∠1 =∠2,∠B =∠C,可推得AB∥CD.理由如下:
∵∠1 =∠2(已知),
且∠1 =∠CGD(______________________ ),
∴∠2 =∠CGD(等量代换).
∴CE∥BF(___________________________).
∴∠ =∠C(__________________________).
又∵∠B =∠C(已知),
∴∠ =∠B(等量代换).
∴AB∥CD(________________________________).
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【题目】如图,在平行四边形中,分别为边的中点,是对角线,过点作交的延长线于点.
(1)求证:.
(2)若,
①求证:四边形是菱形.
②当时,求四边形的面积.
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【题目】四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC
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【题目】如图,LA,LB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程y(千米)与时间x(小时)的关系.根据图象,回答下列问题:
(1)B出发时与A相距 千米.
(2)B骑车一段路后,自行车发生故障,进行修理,所用的时间是 小时.
(3)B出发后 小时与A相遇.
(4)求出A行走的路程y与时间x的函数关系式.(写出过程)
(5)若B的自行车不发生故障,保持出发时的速度匀速行驶,A,B肯定会提前相遇.在图中画出这种假设情况下B骑车行驶过程中路程y与时间x的函数图象,在图中标出这个相遇点P,并回答相遇点P离B的出发点O相距多少千米.(写出过程)
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【题目】如图1是一种阳台户外伸缩晾衣架,侧面示意图如图2所示,其支架AB,CD,EF,GH,BE,DG,FK的长度都为40cm(支架的宽度忽略不计),四边形BQCP、DMEQ、FNGM是互相全等的菱形,当晾衣架的A端拉伸到距离墙壁最远时,∠B=∠D=∠F=80°,这时A端到墙壁的距离约为cm.
(sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,tan40°≈0.839)
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【题目】如图,平行四边形中,对角线、相交于,,、、分别是、、的中点,下列结论:①;②;③;④平分;⑤四边形是菱形,其中正确的个数是( )
A.5B.4C.3D.2
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【题目】假山具有多方面的造景功能,与建筑、植物等组合成富于变化的景致.某公园有一座假山,小亮、小慧等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量这座假山的高度来检验自己掌握知识和运用知识的能力,如图,在阳光下,小亮站在水平地面的D处,此时小亮身高的影子顶端与假山的影子顶端E重合,这时小亮身高CD的影长DE=2米,一段时间后,小亮从D点沿BD的方向走了3.6米到达G处,此时小亮身高的影子顶端与假山的影子顶端H重合,这时小亮身高的影长GH=2.4米,已知小亮的身高CD=FG=1.5米,点G,E,D均在直线BH上,AB⊥BH,CD⊥BH,GF⊥BH,请你根据题中提供的相关信息,求出假山的高度AB.
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