Question

15．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=RT∠，AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿直线ABCD方向运动，点Q从点D出发以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动，已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）求CD长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求t的值；
（3）在点P，点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20平方厘米？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过A点作AM⊥CD于M，根据勾股定理可求得DM=6，进而求得DC=16；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，根据题意可得BP=10-3t，DQ=2t，列出方程10-3t=2t，解得t=2，此时BP=DQ=4，CQ=12，在RT△CBQ中，根据勾股定理即可求得BQ；
（3）分三种情况讨论：①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P在线段CD上，根据三种情况点的位置，即可求得t的值．

解答 解：（1）如图1，过A点作AM⊥CD于M，则四边形AMCB是矩形，
∴AM=BC=8，MC=AB=10，
∵AD=10，
∴DM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴CD=DM+CM=6+10=16；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图2，
由题意得：BP=10-3t，DQ=2t，
∴10-3t=2t，解得t=2，
此时，BP=DQ=4，CQ=12，
∴BQ=$\sqrt{B{C}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{13}$，
∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=2（4+4$\sqrt{13}$）=8+8$\sqrt{13}$．

（3）①当点P在线段AB上时，即0$≤t≤\frac{10}{3}$时，如图3，

S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•BC=$\frac{1}{2}$（10-3t）×8=20，
解得t=$\frac{5}{3}$；
②当点P在线段BC上时，即$\frac{10}{3}$＜t≤6时，如图4，
BP=3t-10，CQ=16-2t，

∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•CQ=$\frac{1}{2}$（3t-10）×（16-2t）=20，
化简得：3t²-34t+100=0，
∵△=（-34）²-4×3×100=-44＜0，
∴方程无实数解；
③当点P在线段CD上时，

若点P在Q的右侧，即6≤t$≤\frac{34}{5}$时，则有PQ=34-5t，
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（34-5t）×8=20，
解得t=$\frac{29}{5}$＜6（舍去），
若点P在Q的左侧，即$\frac{34}{5}$＜t≤8时，则有PQ=5t-34，
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（5t-34）×8=20，
解得t=$\frac{39}{5}$；
综上，满足条件的t的值存在，分别为$\frac{5}{3}$或$\frac{39}{5}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用以及三角形的面积等，分类讨论的思想是本题的关键．