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【题目】如图,RtOAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,O与原点重合,Ax轴上,Cy轴上,OAOC是方程x(3+)x+3=0的两根(OA>OC),CAO=30°,将RtOAC折叠,使OC边落在AC边上,点O与点D重合,折痕为CE.

(1)求点D的坐标;

(2)设点M为直线CE上的一点,过点MAC的平行线,y轴于点N,是否存在这样的点M,使得以MND. C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1D(,);(2M( ,)

【解析】

1)由折纸可以知道CD=OC,从而求出AD,作DFOAF解直角三角形可以求出D点的坐标.

2)存在满足条件的M点,利用三角形全等和平行线等分线段定理可以求出M点对应的坐标.

(1) 解方程x(3+)x+3=0得:

x =,x=3

OA>OC

OA=3,OC=

RtAOC中,由勾股定理得:

AC= =2

由轴对称得:CO=CD=,作DFOAF

AD=,DFOA,且∠CAO=30°

DF=,由勾股定理得:

AF=

OF=,∴OF=AF

D(,)

(2)MNAC

NMF=ADF,FNM=FAD

OF=AF

∴△ADF≌△NMF(AAS)

MF=DF=,NF=AF=

M (, ),作MGOA

∵四边形MCDN和四边形CNMD是平行四边形

MC=ND,ND=CMMC=CM

GO=OF=OE=1

GE=

EOC△∽△EGM

解得:

MG=

M( ,)

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