【题目】如图,Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点C在y轴上,OA和OC是方程x(3+)x+3=0的两根(OA>OC),∠CAO=30°,将Rt△OAC折叠,使OC边落在AC边上,点O与点D重合,折痕为CE.
(1)求点D的坐标;
(2)设点M为直线CE上的一点,过点M作AC的平行线,交y轴于点N,是否存在这样的点M,使得以M、N、D. C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)D(,);(2)M( ,);
【解析】
(1)由折纸可以知道CD=OC,从而求出AD,作DF⊥OA于F解直角三角形可以求出D点的坐标.
(2)存在满足条件的M点,利用三角形全等和平行线等分线段定理可以求出M点对应的坐标.
(1) 解方程x(3+)x+3=0得:
x =,x=3
∵OA>OC
∴OA=3,OC=;
在Rt△AOC中,由勾股定理得:
AC= =2,
由轴对称得:CO=CD=,作DF⊥OA于F,
∴AD=,作DF⊥OA,且∠CAO=30°,
∴DF=,由勾股定理得:
AF= ,
∴OF=,∴OF=AF
∴D(,);
(2)∵MN
∠NMF=∠ADF,∠FNM=∠FAD
∵OF=AF
∴△ADF≌△NMF(AAS),
∴MF=DF=,NF=AF=,
∴M (, ),作MG⊥OA,
∵四边形MCDN和四边形CNMD是平行四边形
∴MC=ND,ND=CM∴MC=CM
∴GO=OF=,OE=1
∴GE= ,
∴EOC△∽△EGM
∴
∴ 解得:
MG= ,
∴M( ,)
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【题目】如图,等腰△ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为( )
A. 13B. 16C. 8D. 10
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【题目】如图,点B、C、D都在⊙O上,过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A,连接BC,∠B=∠A=30°,BD=4.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
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【题目】某班“数学兴趣小组”对函数y=x2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整:
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
其中,m=___.
(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)探究函数图象发现:
①函数图象与x轴有___个交点,所以对应的方程x2|x|=0有___个实数根;
②方程x2|x|=有___个实数根;
③关于x的方程x2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是___.
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【题目】三江夜游项目是宁波市月光经济和“三江六岸”景观提升的重要工程,一艘游轮从周宿夜江游船码头到宁波大剧院游船码头顺流而行用40分钟,从宁波大剧院游船码头沿原线返回周宿夜江游船码头用了1小时,已知游轮在静水中的平均速度为8千米/小时,求水流的速度.设水流的速度为x千米/小时,则可列方程为( )
A.40(8-x)=1×(8+x) B. (8+x)=8 C. (8+x)=8-x D.
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【题目】如图,在菱形纸片ABCD中,AB=2,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F、G分别在边AB、AD上.则cos∠EFG的值为________.
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【题目】直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上,CF平分∠BCD.
(1)在图1中,若∠BCE=40°,求∠ACF的度数;
(2)在图1中,若∠BCE=α,直接写出∠ACF的度数(用含α的式子表示);
(3)将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置,探究:写出∠ACF与∠BCE的度数之间的关系,并说明理由.
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【题目】如图,四边形ABCD为矩形纸片,把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处, 折痕为AF,若CD=6,则AF等于__________.
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