Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若CD=6，cos∠ACD=

3

5

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AD、AB长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可．

解答：解：（1）直线MN与⊙0的位置关系是相切，
理由是：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAB=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴MN是⊙O切线；

（2）∵CD=6，cos∠ACD=

DC

AC

=

3

5

，
∴AC═10，由勾股定理得：AD=8，
∵AB是⊙O直径，AD⊥MN，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴

8

10

=

10

AB

，
∴AB=12.5，
∴⊙O半径是

1

2

×12.5=6.25．

点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．