Question

【题目】如图，已知AF＝AB，∠FAB＝60°，AE＝AC，∠EAC＝60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF＝BE；②∠AMO＝∠ANO；③OA平分∠FOE；④∠COB＝120°，其中正确的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

如图先证明△ABE≌△AFC，得到BE=CF，S△ABE=S△AFC，得到AP=AQ，利用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF，再利用“8字型”证明∠CON=∠CAE=60°，由此可以解决问题．

解：∵AB＝AF，AC＝AE，∠FAB＝∠EAC＝60°，

∴∠FAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，

即∠FAC＝∠BAE，

在△ABE与△AFC中，

，

∴△ABE≌△AFC（SAS），

∴BE＝FC，故①正确，∠AEB＝∠ACF，

∵∠EAN+∠ANE+∠AEB＝180°，∠CON+∠CNO+∠ACF＝180°，∠ANE＝∠CNO，

∴∠CON＝∠CAE＝60°＝∠MOB，

∴∠BOC＝180°﹣∠CON＝120°，故④正确，

连AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图，

∵△ABE≌△AFC，

∴S△ABE＝S△AFC，

∴CFAP＝BEAQ，而CF＝BE，

∴AP＝AQ，

∴OA平分∠FOE，所以③正确，

∵∠AMO＝∠MOB+∠ABE＝60°+∠ABE，∠ANO＝∠CON+∠ACF＝60°+∠ACF，

显然∠ABE与∠ACF不一定相等，

∴∠AMO与∠ANO不一定相等，故②错误，

综上所述正确的有：①③④．

故选：C．