Question

3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若CD=8，BE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠P=∠C，再由条件∠C=∠PBC可得∠P=∠PBC，然后可得CB∥PD；
（2）根据垂径定理可得CE=4，在Rt△COE中，根据勾股定理可得方程x²=4²+（x-2）²，再解即可．

解答 解：（1）∵∠P=∠C，∠C=∠PBC，
∴∠P=∠PBC，
∴CB∥DP；

（2）连接CO，设CO=x，则BO=x，
∵弦CD⊥AB于点E，CD=8，
∴CE=4，
∵BE=2，
∴EO=x-2，
在Rt△COE中：CO²=CE²+OE²，
∴x²=4²+（x-2）²，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5．

点评 此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，以及勾股定理的应用，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．