Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N．劣弧 的长为 π，直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．

（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用π表示）

Answer 1

【答案】
（1）

证明：作OD⊥AB于D，如图所示：∵劣弧 的长为 π，

∴ = ，

解得：OM= ，

即⊙O的半径为 ，

∵直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，

当y=0时，x=3；当x=0时，y=4，

∴A（3，0），B（0，4），

∴OA=3，OB=4，

∴AB= =5，

∵△AOB的面积= ABOD= OAOB，

∴OD= = =半径OM，

∴直线AB与⊙O相切；

（2）

解：图中所示的阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积= ×3×4﹣ π×（ ）2=6﹣ π．

【解析】（1）作OD⊥AB于D，由弧长公式和已知条件求出半径OM= ，由直线解析式求出点A和B的坐标，得出OA=3，OB=4，由勾股定理求出AB=5，再由△AOB面积的计算方法求出OD，即可得出结论；（2）阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积，即可得出结果．本题考查了切线的判定、弧长公式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、扇形面积的计算等知识；熟练掌握切线的判定，由三角形的面积求出半径是解决问题的关键．