Question

2．如图，抛物线y=ax²（a≠0）与直线AB交于点P（4，-4），连接OP，则OP=AP，求二次函数的解析式及抛物线与直线AB另一个交点B的坐标．

Answer 1

分析 将A坐标代入抛物线解析式中求出a的值，即可确定出抛物线解析式，过点P作PQ⊥OA，得Q（4，0），再根据OP=AP，得A（8，0），将A、P坐标代入直线解析式y=mx+n，求出m，n的值，联立两函数解析式求出另一个交点B即可．

解答 解：将x=4，y=-4代入抛物线解析式得：a=-$\frac{1}{4}$，
则抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²；
过点P作PQ⊥OA，则Q（4，0），
∵OP=AP，
∴OQ=AQ，
∴A（8，0），
将A、P坐标代入直线解析式y=mx+n，得：$\left\{\begin{array}{l}{8m+n=0}\\{4m+n=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-8}\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=x-8，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-8}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
消去y得：x²=-4x+32，即x²+4x-32=0，
分解因式得：（x-4）（x+8）=0，
解得：x=4或x=-8，
当x=-8时，y=-8-8=-16，
则两函数另一个交点为（-8，-16）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．