Question

已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是边BC上的高．那么，图中的∠DHF与∠DEF相等吗？为什么？

Answer 1

解：∠DHF=∠DEF，
如图．∵AH⊥BC于H，
又∵D为AB的中点，
∴DH=AB=AD，
∴∠1=∠2，
同理可证：∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠DHF=∠DAF，
∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴EF∥AB且EF=AB，
即EF∥AD且EF=AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DAF=∠DEF，
∴∠DHF=∠DEF．
分析：在△ABH中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AB=AD，从而得到∠1=∠2，同理可证出∠3=∠4，从而得到∠DHF=∠DAF，再利用三角形的中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF与∠DAF=∠DEF．