Question

11．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴$\frac{BM}{AF}=\frac{AM}{AE}$，
即$\frac{5}{6.5}=\frac{13}{AE}$，
∴AE=16.9，
∴DE=AE-AD=4.9．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．