Question

2．如图，在Rt△ABC中，/ACB=90°，AC=8，BC=6，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的F处，连接FC，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为2或$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AB，设AE=x，则EF=x，BF=10-2x；分三种情况讨论：
①当BF=BC时，列出方程，解方程即可；
②当BF=CF时，F在BC的垂直平分线上，得出AF=BF，列出方程，解方程即可；
③当CF=BC时，作CG⊥AB于G，则BG=FG=$\frac{1}{2}$BF，由射影定理求出BG，再解方程即可．

解答 解：由翻折变换的性质得：AE=EF，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
设AE=EF=x，则BF=10-2x；
分三种情况讨论：
①当BF=BC时，10-2x=6，
解得：x=2，
∴AE=2；
②当BF=CF时，F在BC的垂直平分线上，
∴F为AB的中点，
∴AF=BF，
∴x+x=10-2x，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$；
③当CF=BC时，作CG⊥AB于G，如图所示：
则BG=FG=$\frac{1}{2}$BF，
根据射影定理得：BC²=BG•AB，
∴BG=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{{6}^{2}}{10}$=$\frac{18}{5}$，
即$\frac{1}{2}$（10-2x）=$\frac{18}{5}$，
解得：x=$\frac{7}{5}$，
∴AE=$\frac{7}{5}$；
综上所述：当△BCF为等腰三角形时，AE的长为：2或$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{5}$；
故答案为：2或$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、射影定理、等腰三角形的性质；本题有一定难度，需要进行分类讨论．