Question

13．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧$\widehat{BC}$的中点，点D是优弧$\widehat{BC}$上一点，且∠D=30°．
（1）求弦BC的长及sin∠AOB的值；
（2）求证：四边形ABOC是菱形．

Answer 1

分析 （1）求得∠AOB的度数即可利用特殊角的三角函数值求得其正弦值，然后解直角三角形即可求得BC的长；
（2）证得AB=BO=OC=CA后利用四条边相等的四边形是菱形即可进行证明．

解答 （1）解：设BC与AO交于点E．
∵点A是劣弧$\widehat{BC}$的中点，OA过圆心，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AB}$，OA⊥BC．
∴∠D=∠ACB=30°．
∴∠AOB=2∠ACB=60°．
∴sin∠AOB=sin 60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
在Rt△OBE中，OB=6 cm，
BE=OB•sin∠AOB=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$（cm），
∴BC=2BE=6$\sqrt{3}$cm．

（2）证明：∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形．
∴AB=OB．
∵点A是劣弧BC的中点，
∴AC=AB．
∴AB=BO=OC=CA．
∴四边形ABOC是菱形．

点评 本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练应用菱形的判定方法是解题关键．