Question

4．直线y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，O是原点．点P是线段AB上的动点（包括A、B两点），以OP为直径作⊙Q，则⊙Q的面积不可能是（　　）

• A． 5π
• B． 4π
• C． 3π
• D． 2π

Answer 1

分析 由一次函数的解析式可求出函数和坐标轴交点的坐标，因为Q为线段OP上的中点，则OP是圆Q的直径，求出OP的最小值和最大值，也就是求出了圆Q的面积的最值，有其取值范围再做选择即可．

解答 解：设y=0．则0=-x+4，
∴x=4，
∴A的坐标为（4，0），
∴OA=4，
设x=0．则y=4，
∴OB=4，
∴AB=$\sqrt{{OB}^{2}+{OA}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵点P是线段AB上的动点，
∴OP⊥AB时，OP最小为$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵Q为线段OP上的中点，
∴此时⊙Q的面积=π（$\sqrt{2}$）²=2π，
∵点P是线段AB上的动点，
∴当点P和A或B重合时，OP最大为4，
∴此时⊙Q的面积=π×2²=4π，
∴2π≤⊙Q的面积≤4π．
故选A．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特点、直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理的运用，解题的关键是求出圆Q的最大值和最小值．