Question

5．已知如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，连结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD与点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x（2＜x≤5），PM=y
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；
（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）证明△ABM∽△APB，得出对应边成比例，即可得出y关于x的函数解析式；
（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP=x=4，可求出MP、AM、BM、BP，再根据面积法求出MH，从而求出BH，即可求出∠EBP的正切值；
（3）分两种情况讨论：①当EB=EC时，可证△AMB≌△DPC，则有AM=DP，从而有x-y=5-x，即y=2x-5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；
②当CB=CE时，得到PC=EC-EP=BC-MP=5-y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，解方程求出x的值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，AD=BC=5，∠A=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∵∠ABE=∠CBP，
∴∠ABM=∠APB．
又∵∠A=∠A，
∴△ABM∽△APB，
∴$\frac{AB}{AP}$=$\frac{AM}{AB}$，
即$\frac{2}{x}$=$\frac{x-y}{2}$，
∴y=x-$\frac{4}{x}$（2＜x≤5）；
（2）过点M作MH⊥BP于H，如图所示：
∵AP=x=4，
∴y=x-$\frac{4}{x}$=3，
∴MP=3，AM=1，
∴BM=$\sqrt{A{B}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△BMP的面积=$\frac{1}{2}$MP•AB=$\frac{1}{2}$BP•MH，
∴MH=$\frac{MP•AB}{BP}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴BH=$\sqrt{B{M}^{2}-M{H}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠EBP=$\frac{MH}{BH}$=$\frac{3}{4}$；
（3）分两种情况：
①若EB=EC，
则∠EBC=∠ECB．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠EBC，∠DPC=∠ECB，
∴∠AMB=∠DPC．
在△AMB和△DPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠DPC}&{\;}\\{∠A=∠D}&{\;}\\{AB=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△DPC，
∴AM=DP，
∴x-y=5-x，
∴y=2x-5，
∴x-$\frac{4}{x}$=2x-5，
解得：x₁=1，x₂=4．
∵2＜x≤5，
∴AP=x=4；
②若CE=CB，
则∠EBC=∠E．
∵AD∥BC，
∴∠EMP=∠EBC=∠E，
∴PE=PM=y，
∴PC=EC-EP=5-y，
∴在Rt△DPC中，
（5-y）²-（5-x）²=2²，
∴（10-x-y）（x-y）=4，
∴（10-x-x+$\frac{4}{x}$）（x-x+$\frac{4}{x}$）=4，
整理得：3x²-10x-4=0，
解得：x=$\frac{5±\sqrt{37}}{3}$（负值舍去），
∴AP=x=$\frac{5+\sqrt{37}}{3}$；
综上所述：AP的值为：4或$\frac{5+\sqrt{37}}{3}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要运用（1）的结果、勾股定理、三角形面积和分类讨论、三角形全等以及解方程等知识才能得出结果．