Question

10．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠ECG=45°，求证：S_△ECG=S_△BCE+S_△CDG．

Answer 1

分析 （1）先利用正方形的性质得到CB=CD，∠B=∠ADC=90°，然后根据“SAS”证明△CBE≌△CDF，则可根据全等三角形的性质得到CE=CF；
（2）延长AD到F，使DF=BE，连结CF，如图2，由（1）得△CBE≌△CDF，则CE=CF，∠1=∠2，S_△BCE=S_△CDF，利用∠1+∠DCE=90°可得∠2+∠DCE=90°，所以∠ECG=∠FCG=45°，则可利用“SAS”证明△CEG≌△CFG，则S_△ECG=S_△CFG，易得S_△ECG=S_△BCE+S_△CDG．

解答 （1）证明：∵四边形ABCd为正方形，
∴CB=CD，∠B=∠ADC=90°，
在△CBE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠CBE=∠CDF}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）证明：延长AD到F，使DF=BE，连结CF，如图2，
由（1）得△CBE≌△CDF，
∴CE=CF，∠1=∠2，S_△BCE=S_△CDF，
∵∠1+∠DCE=90°，
∴∠2+∠DCE=90°，即∠ECF=90°，
∵∠ECG=45°，
∴∠FCG=45°，
在△CEG和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠ECG=∠FCG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△CFG，
∴S_△ECG=S_△CFG，
∴S_△ECG=S_△CDF+S_△CDG=S_△BCE+S_△CDG．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形的性质．在解决（2）时要运用（1）的结论．