分析 （1）利用对称的性质可得AB=AD，BD=DC，由AB=BC可得AB=BC=CD=DA，得出结论；
（2）首先由菱形的性质得AC⊥BD，AO=OC=b，BO=OD，设△ABC的BC边上的高为h，易得y=S△AOP=$\frac{1}{2}{S}_{△ACP}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×PC×h$=$\frac{1}{4}$（a-x）h，利用S△ABC=$\frac{1}{2}BC×h$=$\frac{1}{2}AC×OB$，得h，得y随x变化的解析式；
（3）设Rt△PQR的面积为s．当y=s时，利用（2）中的公式可得PR=RC，连接OR，由OA=OC，利用中位线的性质可得AP=2OR，在Rt△PQR中，斜边的中线等于斜边的一半，可得PQ=2OR，所以AP=PQ．
解答 解：（1）四边形ABCD是菱形．
∵D是B关于直线AC的对称点，
∴BD⊥AC，OB=OD，
∴AB=AD，BC=DC
又∵AB=BC，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=b，BO=OD，
BP=x，AB=BC=a，
∴PC=a-x，
设△ABC的BC边上的高为h，
则y=S△AOP=$\frac{1}{2}{S}_{△ACP}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×PC×h$=$\frac{1}{4}$（a-x）h，
在Rt△AOB中，由勾股定理得BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
故由S△ABC=$\frac{1}{2}BC×h$=$\frac{1}{2}AC×OB$得：
h=$\frac{AC×OB}{BC}$=$\frac{2b\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$
∴y=$\frac{1}{4}$（a-x）h=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{2a}$（a-x），（0≤x≤a）；
（3）PA=PQ，
∵Rt△PQR的面积为s，y=s，
∴y=$\frac{1}{4}$PC×h=s=$\frac{1}{2}PR×h$，
∴PC=2PR，
∴PR=RC，
连接OR，OA=OC，
∴AP=2OR，
在Rt△PQR中，O为斜边PQ中点，
∴PQ=2OR，
∴AP=PQ．
点评 本题主要考查了轴对称的性质，菱形的判定定理及性质定理，三角形的面积公式，直角三角形的性质，三角形中位线的性质等，综合运用各定理，三角形的面积公式是解答此题的关键．
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