Question

8．小梅在餐厅吃饭时，发现了一个有趣的问题：厨师喜欢将做好的油饼都切成一个个小扇形．小梅在想：如果第一次切去圆饼的一半，第二次切去剩余的一半，第三次继续切去剩余的一半，…（如图所示）：
（1）如果继续这样切下去，能把这张油饼切完吗？为什么？
（2）如果依照上面的规律切了10次，那么剩下的油饼是整张油饼的几分之几？
（3）如果厨师照上述方式切了n次，那么他一共将这张油饼切去了多少？你能帮小梅解决上述的问题吗？试一试吧！

Answer 1

分析 （1）第1次剩1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，第2次剩1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，第3次剩1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{8}$，…，第n次剩1-$\frac{1}{2}$-…-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，于是可以发现这张油饼切不完；
（2）由（1）的规律，把n=10，代入即可求出结果；
（3）由（1）知n次剩$\frac{1}{{2}^{n}}$，所以切了n次，一共将这张油饼切去了1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

解答 解：（1）由图形可以看出，第1次剩1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，第2次剩1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，第3次剩1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{8}$，…，
第n次剩1-$\frac{1}{2}$-…-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
所以这张油饼永远切不完；
（2）由（1）的规律，当n=10时，代入第n次剩的通式$\frac{1}{{2}^{n}}$，得出切了10次，那么剩下的油饼是整张油饼的$\frac{1}{{2}^{10}}$；
（3）由（1）知n次剩$\frac{1}{{2}^{n}}$，所以切了n次，一共将这张油饼切去了1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了根据图形探索规律问题，解决此类问题的关键是找出规律，发现问题的一般形式．