Question

如图：D是以AB为直径的圆O上任意一点，且不与点A、B重合，点C是弧BD的中点，作CE∥AB，交AD或其延长线于E，连接BE交AC与G，AE=CE，过C作CM⊥AD交AD延长线于点M，MC与⊙O相切，CE=7，CD=6，求EG的长．

Answer 1

考点：正弦定理与余弦定理,勾股定理,平行四边形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,切线的性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：连接OC，易证四边形AOCE是平行四边形，则有OA=CE=7，由点C是弧BD的中点可得BC=CD=6，运用勾股定理求出AC．由CE∥AB可得△CGE∽△AGB，运用相似三角形的性质可求出AG的长．在Rt△ACB中根据三角函数的定义可求出cos∠BAC，由点C是弧BD的中点可得∠BAC=∠EAG，从而可得到cos∠EAG的值，然后在△EAG中运用余弦定理就可求出EG的长．

解答：解：连接OC，如图．
∵MC与⊙O相切，
∴OC⊥MC．
∵CM⊥AD，
∴OC∥AM．
∵CE∥AB，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∴OA=CE=7，
∴AB=14．
∵点C是弧BD的中点，
∴BC=CD=6．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=

142-62

=4

10

．
∵CE∥AB，∴△CGE∽△AGB，
∴

CG

AG

=

CE

AB

=

7

14

=

1

2

，
∴AG=

2

3

AC=

8 10

3

．
在Rt△ACB中，
cos∠BAC=

AC

AB

=

4 10

14

=

2 10

7

．
∵点C是弧BD的中点，
∴∠BAC=∠CAD，即∠BAC=∠EAG，
∴cos∠EAG=

2 10

7

．
在△EAG中，
cos∠EAG=

AG2+AE2-GE2

2AG•AE

．
∴

AG2+AE2-GE2

2AG•AE

=

2 10

7

．
∵AG=

8 10

3

，AE=CE=7，
∴

640 9 +49-GE2

2× 8 10 3 ×7

=

2 10

7

．
整理得：GE²=

121

9

．
∵GE＞0，∴GE=

11

3

．
∴EG的长为

11

3

．

点评：本题考查了切线的性质、弧与弦的关系、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、余弦定理等知识，综合性比较强，在△EAG中运用余弦定理是解决本题的关键．