Question

2．在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）过矩形顶点B、C．
（1）当n=1时，如果a=-1，试求b的值；
（2）当n=2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式； 
（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O．试求当n=3时a的值．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，正方形的边为1，故此抛物线的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，抛物线的对称轴方程可求得b=1；
（2）当n=1时，正方形的边为2，故此抛物线的对称轴为x=1，由点B与C对称，点M与点N对称可求得B（2，1）和点M（$\frac{1}{2}$，2），将点B、M的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、b的二元一次方程组，从而可求得a、b的值；
（3）当n=3时，可知矩形的边长OC=AB=1，OA=CB=3，根据勾股定理可求得OB=$\sqrt{10}$，从而得到点B的坐标为（$\sqrt{10}$，0），过C作CD⊥OB于点D．则Rt△OCD∽Rt△CBD，然后由相似三角形的性质可求得OD=$\frac{\sqrt{10}}{10}$、CD=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，设所求抛物线解析式为y=ax²+bx，将点C、B的坐标代入得到关于a、b的二元一次方程组，从而可求得a的值．

解答 解：（1）∵正方形的边为1，
∴C（0，1）、B（1，1）．
∴抛物线对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{b}{-1×2}$=$\frac{1}{2}$，得b=1．
（2）设所求抛物线解析式为y=ax²+bx+1，
由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（$\frac{1}{2}$，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+1=1}\\{\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+1=2}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$．
∴所求抛物线解析式为y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+1．
（3）当n=3时，OC=1，BC=3，设所求抛物线解析式为y=ax²+bx，
如图所示：过C作CD⊥OB于点D．

∵在Rt△OCB中，OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴B（$\sqrt{10}$，0）．
∵∠COD=∠COB，∠CDO=∠OCB=90°，
∴△OCD∽△CBD．
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{OC}{OB}=\frac{DC}{BC}$，即$\frac{OD}{1}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{DC}{3}$．
∴OD=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，DC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴C（$\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）．
把B、C坐标代入抛物线解析式得$\left\{\begin{array}{l}{10a+\sqrt{10}b=0}\\{\frac{1}{10}a+\frac{\sqrt{10}}{10}b=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$．
解得：a=-$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数的解析式、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定，由抛物线的对称性以及正方形、长方形的对称性确定出抛物线的对称轴方程以及点M和点B的坐标是解决问题（1）、（2）的关键，依据相似三角形的性质求得OD、CD的长，从而得到点C的坐标是解决问题（3）的关键．