Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，点A(0,1)，B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC.

(1)当点B运动到(0,4)时，AC＝　　　　；

(2)∠CAP的度数为　　　　；

(3)当点B运动时，AE的长度是否发生变化？若不变，求出AE的值；若变化，说明变化的规律.

Answer 1

【答案】（1）4 ；（2）60；（3）当点B运动时，AE的长度不发生变化，AE=2.

【解析】

（1）根据△AOP和△BCP是等边三角形，得到OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60，得到∠OPB=∠APC，由此证得△PBO≌△PCA，即可得到答案；

（2）由（1）知∠PBO=∠PCA，根据∠BAC=∠BPC=60，即可求出答案；

（3）由∠EAO=∠BAC=60，求出∠AEO=30，得到AE=2AO=2，即可得到结论.

（1）∵△AOP和△BCP是等边三角形，

∴OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60，

∴∠APO+∠APB=∠BPC+∠APB，

即∠OPB=∠APC，

在△PBO和△PCA中，

,

∴△PBO≌△PCA，

∴OB=AC=4.

故答案为：4；

（2）由（1）知∠PBO=∠PCA，

∴∠BAC=∠BPC=60，

∵∠OAP=60，

∴∠CAP=180-∠BAC-∠OAP=60.

故答案为：60；

（3）当点B运动时，AE的长度不发生变化，

理由：∵∠EAO=∠BAC=60，∠AOE=90，

∴∠AEO=30，

∴AE=2AO=2，

即当点B运动时，AE的长度不发生变化.