Question

【题目】（提出问题）如图1，在等边三角形ABC内一点P，PA=3,PB=4,PC=5．求∠APB的度数？小明提供了如下思路：

如图2，将△APC绕A点顺时针旋转60°至△AP'B ,则AP'=AP=3,P'C=PB=4,∠P'AC=∠PAB ,所以∠P'AC+∠CAP=∠PAC+∠BAP ,即∠P'AP=∠BAC=60° ,所以△AP'P为等边三角形 ,所以∠A P'P=60° ,

……按照小明的解题思路，

易求得∠APB= ；

（尝试应用）

如图3，在等边三角形ABC外一点P，PA=6,PB=10,PC=8．求∠APC的度数？

（解决问题）

如图4，平面直角坐标系xoy中，直线AB的解析式为y=－x+b(b>0),在第一象限内一点P，满足PB:PO:PA=1:2:3，则∠BPO= 度（直接写出答案）

Answer 1

【答案】【解决问题】 150°；【尝试应用】30°；【解决问题】135°

【解析】

解决问题:由题意得AP'=AP=PP'，根据勾股定理的逆定理，可知△P'PB是直角三角形即可求解.

尝试应用:将△ABP绕点A逆时针旋转60°，连接PP'，得到△APP'是等边三角形，△PP'C是直角三角形.

解决问题:将△APO绕O逆时针旋转90°，连接PP'证明△PP'O为等腰直角三角形，根据勾股定理证明△PP'B为直角三角形即可.

解决问题:150°.

∵AP'=AP=PP'=3

∴PP'2+BP2= BP'2

∴△BP'P为直角三角形

∴∠APB=150°

尝试应用:∠APC=30°，提示：将△ABP绕点A逆时针旋转60°，连接PP'，得到△APP'是等边三角形，△PP'C是直角三角形.

将△ABP绕点A逆时针旋转60°，连接PP'，PB= P'C=10

∴△APP'是等边三角形

∴PP'=6

∵PP'2+PC2= P'C2

∴△PP'C是直角三角形

∴∠APC=∠P'PC- ∠P'PA=30°

解决问题:类比前面的方法，通过旋转构造直角三角形，可求得结果为135°

将△APO绕O逆时针旋转90°，连接PP',

因为△P’OP是等腰直角三角形，

所以PP’==2,

因为△P’OB≌△POA，

所以P’B=PA=3.

在△P’PB中，∵PP’2+PB2=P’B2,

∴△P’PB是直角三角形，

∴∠BPP’=90°，

∴∠BPO=90°+45°=135°