Question

【题目】探究：如图①点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，连结AE、AF、EF，将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形．若BE＝2，DF＝3，求AB的长；

拓展：如图②点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上，且∠B＝∠D＝90°．连结AE、AF、EF将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形．若∠EAF＝30°，AB＝4，则△ECF的周长是　 　．

Answer 1

【答案】探究：AB＝6；拓展：．

【解析】

探究：设：正方形的边长为a，则EC=a-2，CF=a-3，则由勾股定理得：EF2=EC2+CF2，即可求解；

拓展：证明△ABC≌△ADC，∠BAE+∠DAF=∠EAF=30°，则∠BAD=60°，∠BAC=∠DAC=（∠BAD）=30°，CD=BC=ABtan∠BAC，即可求解．

探究：

设：正方形的边长为a，则EC＝a﹣2，CF＝a﹣3，

则EF＝BE+DF＝5，则EF2＝EC2+CF2，

即：25＝（a﹣2）2+（a﹣3）2，解得：a＝6或﹣1（舍去﹣1），

故AB＝6；

拓展：

由题意得：AB＝CD＝4，连接AC，

∵AB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，

∴BC＝CD，∠BAC＝∠DAC，

∵点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上，

故：∠BAE+∠DAF＝∠EAF＝30°，则∠BAD＝60°，

∴∠BAC＝∠DAC＝（∠BAD）＝30°，

CD＝BC＝ABtan∠BAC＝4×＝，

△ECF的周长＝EF+EC+FC＝AE+FD+EC+FC＝AC+CD＝2CD＝，

故答案为：．