【题目】在矩形ABCD中,如图,AB=10,P是边AB上一点,把△PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点是点G,过点B作BE⊥CG,垂足为E且在AD上,BE交PC于点F.
(1)求证:BP=BF;(2)当BP=8时,求BE·EF的值.
【答案】(1)见解析;(2) BE·EF=80.
【解析】
(1)利用折叠的性质,得出∠PGC=∠PBC=90°,∠BPC=∠GPC,进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论;
(2)判断出△GEF∽△EAB,即可得出结论.
(1)在矩形ABCD中,∠ABC=90°,
∵△BPC沿P折叠得到△GPC,
∴∠PGC=∠PBC=90°,∠BPC=∠GPC,
∵BE⊥CG,
∴BE∥GP,
∴∠GPF=∠PFB,
∴∠BPF=∠BFP,
∴BP=BF;
(2)连接GF,
∵∠GEF=∠BAE=90°,
∵BF∥PG,BF=PG,
∴四边形BPGF是平行四边形,
∵BP=BF,
∴平行四边形BPGF是菱形,
∴BP∥GF,
∴∠GFE=∠ABE,
∴△GEF∽△EAB,
∴,
∴BE·EF=AB·GF=10×8=80.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=,BC=1,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′,点C的运动路径为弧CC′,当点B′落在CD上时,则图中阴影部分的面积为______
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【题目】已知:如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交
于点A(1,4)、点B(-4,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
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【题目】某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动,学校收集整理数据后,将减压方式分为五类,并绘制了图1、图2两个不完整的统计图,请根据图中的信息解答下列问题:
九年级接受调查的同学共有多少名,并补全条形统计图;
九年级共有500名学生,请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名;
若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生,心理老师想从5名同学中任选两名同学进行交流,请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学都是女生的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=110°,△ADE的顶点D在BC上,且∠DAE=90°,AD=AE,则∠BAD-∠EDC的度数为( )
A.17.5°B.12.5°C.12°D.10°
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【题目】如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC与地面保持垂直,吊臂AB与水平线的夹角为64°,吊臂底部A距地面1.5m.(计算结果精确到0.1m,参考数据sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05)
(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时,吊臂AB的长为多少m.
(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少?(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)
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【题目】如图,在等边△ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,
FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于( )
A.1∶3 B.2∶3 C.∶2 D.∶3
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【题目】探究:如图①点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,连结AE、AF、EF,将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠,折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形.若BE=2,DF=3,求AB的长;
拓展:如图②点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上,且∠B=∠D=90°.连结AE、AF、EF将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠,折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形.若∠EAF=30°,AB=4,则△ECF的周长是 .
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
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