【题目】如图,已知BC是⊙O的直径,AD切⊙于点A,CD∥OA交⊙O于另一点E.
(1)求证:△ACD∽△BCA;
(2)若A是⊙O上一动点,则
①当∠B=_____时,以A,O,C,D为顶点的四边形是正方形;
②当∠B=_____时,以A,O,C,E为顶点的四边形是菱形.
【答案】(1)详见解析;(2)①45°;②60°
【解析】
(1)证明∠BAC=∠ADC与∠ACD=∠ACO,即可证明△ACD∽△BCA;
(2)①当∠B=45°时,以A,O,C,D为顶点的四边形是正方形;②当∠B=60°时,以A,O,C,D为顶点的四边形是棱形.
解:(1)证明:∵AD 切⊙O 于点 A,
∴OA⊥AD,
∵CD∥OA,
∴∠ADC=90°,
∵BC 是⊙O 的直径,
∴∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠ADC,
又∵CD∥OA,
∴∠ACD=∠CAO,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠ACD=∠ACO,
∴△ACD∽△BCA;
(2)①∵四边形AOCD为正方形,
∴∠AOC=90°,
∵OA=OC,
∠OCA=∠OAC=45°,
∵∠BAC=90°,
∴∠B=90°﹣45°=45°,
故答案为45°;
②连接AE,
∵AD为切线,
∴∠DAE=∠ECA,∠OAD=90°
∵四边形AOCE为菱形,
∠OAC=∠EAC,
∴∠DAE=∠ECA=∠OAC=30°
∴∠ACO=30°,
∴∠AOB=∠ACO+∠OAC=30°+30°=60°
∵OA=OB,
∴∠B=60°.
故答案为 60°.
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【题目】已知:如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交
于点A(1,4)、点B(-4,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
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【题目】如图,在等边△ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,
FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于( )
A.1∶3 B.2∶3 C.∶2 D.∶3
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【题目】探究:如图①点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,连结AE、AF、EF,将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠,折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形.若BE=2,DF=3,求AB的长;
拓展:如图②点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上,且∠B=∠D=90°.连结AE、AF、EF将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠,折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形.若∠EAF=30°,AB=4,则△ECF的周长是 .
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当﹣1<x<3时,y>0,其中正确的是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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【题目】如图,二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象与x轴交A,B两点,与y轴交于点C,直线y=﹣2x﹣6经过点A,C.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)点P为第三象限内抛物线上的一个动点,△APC的面积为S,试求S的最大值;
(3)若P为抛物线的顶点,且直角三角形APQ的直角顶点Q在y轴上,请直接写出点Q的坐标.
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【题目】如图1,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E、F是边AB、DC的中点,连接EF、AF,动点P从A向F运动,AP=x,y=PE+PB.图2所示的是y关于x的函数图象,点(a,b)是函数图象的最低点,则a的值为( )
A.B.C.D.2
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
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【题目】从淄博汽车站到银泰城有甲,乙,丙三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况,在每条线路上随机选取了500个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时(单位:分钟)的数据,统计如下:
线路/公交车用时的频数/公交车用时 | 30≤t≤35 | 35≤t≤40 | 40≤t≤45 | 45≤t≤50 | 合计 |
甲 | 59 | 151 | 166 | 124 | 500 |
乙 | 50 | 50 | 122 | 278 | 500 |
丙 | 45 | 265 | 167 | 23 | 500 |
早高峰期间,乘坐线路上的公交车,从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”的可能性最大.( )
A.甲B.乙C.丙D.无法确定
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