Question

7．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC=4，BC=3，P为直径AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）求证：∠ACB=90°；
（2）当点P在直径AB上运动的过程中，试探究线段EF长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据直径所对的圆周角是直角进行解答；
（2）作CH⊥AB，根据三角形的面积公式求出CH的长，根据矩形的判定和性质求出线段EF长度的最小值．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
（2）作CH⊥AB于H，
∵PE⊥AC于E，PF⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴EF=CP，
在直角△ABC中，AC=4，BC=3，
由勾股定理得，AB=5，
∵$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AB×CH，
∴CH=$\frac{12}{5}$，
∴CP的最小值为：$\frac{12}{5}$，
即EF长度的最小值为$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查的是圆周角定理的应用好矩形的判定和性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．