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    2．在一个平面河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别为3km和2km，AB=xkm（x＞1），现计划在河岸l上建抽水站P，用输水管道向两个村庄供水．
    方案设计：
    方案一：设该方案中管道长度为y1，且y1=PB+BA，其中PB⊥l于点P；
    方案二：设该方案中管道长度为y2，且y2=PA+PB，其中点A′于点A关于l对称，A′B与l交于点P．
    就x的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应如何选择这两种方案？

    分析 方案一：PB⊥l于点P，y1=PB+BA，代入即可得到结论；
    方案二：如图1，作点A关于l对称A′，连接A′B与l交于点P，过B作 BC⊥AA′于C，根据勾股定理得到BC2=x2-1，求得A′B=$\sqrt{B{C}^{2}+A′{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+24}$，于是得到y2=PA+PB=PA′+PB=$\sqrt{{x}^{2}+24}$；
    分类进行讨论当y1＞y2，y1=y2，y1＜y2时就可以分别求出x的范围，从而确定选择方案．

    解答 解：方案一：∵PB⊥l于点P，y1=PB+BA，
    ∴y1=（2+x）km；
    方案二：如图1，作点A关于l对称A′，连接A′B与l交于点P，
    过B作 BC⊥AA′于C，
    则AC=1，AB=x，A′C=5，
    ∴BC2=x2-1，
    ∴A′B=$\sqrt{B{C}^{2}+A′{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+24}$，
    ∴y2=PA+PB=PA′+PB=$\sqrt{{x}^{2}+24}$；
    ∵y12-y22=（x+2）2-（$\sqrt{{x}^{2}+24}$）2=4x-20，
    ∴①当4x-20＞0，即x＞5时，y1＞y2；
    ∴选择方案二铺设管道较短．
    ②当4x-20=0，x=5时，y1=y2；
    ∴选择方案一、二铺设管道一样长；
    ③当4x-20＜0，即x＜5时，y1＜y2．
    ∴选择方案一铺设管道较短．
    综上可知：当x＞5时，选方案二；
    当x=5时，选方案一或方案二；
    当1＜x＜5 时，选方案一．

    点评 本题考查了轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，勾股定理的运用，数的大小的比较方法的运用．

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     次数 6 12 14 8 40

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