Question

【题目】如图，为的直径，点为上的一点，在的延长线上取点，使，与交于点，于点．

求证：（1）是的切线；（2）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据三角形中位线定理得到OD∥AC，根据平行线的性质得到DF⊥OD，根据切线的判定定理证明即可；

（2）证明△CDF∽△CAD，根据相似三角形的性质定理证明即可．

证明（1）如图1，连接OD．

∵OA=OB，BD=DC，∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；

（2）如图2，连接AD．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC．

又∵BD=DC，∴AB=AC．

∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠DFC=∠ADC=90°．

又∵∠C=∠C，∴△CDF∽△CAD，∴，即：CD2=CFAC．

又∵BD=CD，AB=AC，∴DB2=CFAB．