Question

19．观察式子$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）…
（1）依照上面式子，对任意正整数n，可得$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）；
（2）计算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{2011×2013}$+$\frac{1}{2012×2014}$+$\frac{1}{2013×2015}$．

Answer 1

分析 （1）直接根据给出的式字规律即可得出结论；
（2）根据题中给出的例子进行计算即可．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）…
∴$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）．
故答案为：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）；

（2）原式=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2011}$-$\frac{1}{2013}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2014}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2011}$-$\frac{1}{2013}$+$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2014}$+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$）
=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）
=$\frac{3041643}{4058210}$．

点评 本题考查了有理数的混合运算、规律型-数字的变化类，弄清题意，得出一般性的规律是解本题的关键．