Question

6．如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．
（1）求阴影部分面积；
（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？

Answer 1

分析 （1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C．设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意$\frac{nπ•4}{180}$=2π•1，求出n即可解决问题．
（2）在图2中，根据垂线段最短求出AE，即为最短的长度．

解答 解：（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C．

设图2中的扇形的圆心角为n°，
由题意$\frac{nπ•4}{180}$=2π•1，
∴n=90°，
∵SA=SF，
∴△SFA是等腰直角三角形，
∴SE=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_阴=S_扇形S-AF-S_△SAF=$\frac{90π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{2}$×$2\sqrt{2}$=4π-8．

（2）在图2中，∵SC是一条蜜糖线，AE⊥SC，AE=2$\sqrt{2}$，
∴根据垂线段最短，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2$\sqrt{2}$个单位长度才能吃到蜜糖．

点评 本题考查圆锥的侧面展开图、弧长公式、扇形面积公式、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用这些公式解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．