Question

16．已知斜边为10的直角三角形的两直角边a，b为方程x²-mx+3m+6=0的两个根．
（1）求m的值；
（2）求直角三角形的面积和斜边上的高．

Answer 1

分析 （1）先根据一元二次方程的根与系数的关系得出a+b=m，ab=3m+6，再由勾股定理可得关于m的方程，解之可得求m的值；
（2）根据（1）中m的值可得原方程，解之即可知直角三角形两直角边，进一步计算可得答案．

解答 解：（1）∵a，b是方程x²-mx+3m+6=0的两个根，
∴a+b=m，ab=3m+6，
∵a²+b²=c²，
∴（a+b）²-2ab=10²，
∴m²-6m-112=0，
∴m₁=-8，m₂=14．
又∵a+b=m＞0，
∴m=14；

（2）原方程可化为x²-14x+48=0，
∴x₁=8，x₂=6．
当a=6，b=8，c=10时，
直角三角形的面积为$\frac{1}{2}$×6×8=24，
斜边上的高为$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$．

点评 本题主要考查根与系数的关系及勾股定理、解方程的能力，熟练掌握根与系数的关系求得m的值是解题的关键．