Question

1．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，-3）三点．
（1）抛物线的解析式为y=x²+2x-3；
（2）试探索抛物线上是否存在一点P，使△PAB和△CAB的面积相等？若存在，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线与x的两交点坐标，则可设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C（0，-3）代入求出a的值即可．
根据同底等高的三角形面积相等可得点P到x轴的距离等于点C到x轴的距离，再根据点P在x轴下方，把点P的纵坐标代入抛物线解析式求出点P的横坐标即可得解．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），
把C（0，-3）代入得a•3•（-1）=-3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x+3）（x-1），即y=x²+2x-3；
故答案为y=x²+2x-3．
（2）存在点P（-2，-3）或（-1+$\sqrt{7}$，3）或（-1-$\sqrt{7}$，3）使S_△PAB=S_△CAB．
理由如下：∵△PAB和△CAB都以AB为底边，
∴只要AB边上的高相等，则面积相等，
∵点C的坐标为（0，-3），
∴点C到AB的距离为3，
∴在x轴下方的点P，使S_△PAB=S_△CAB，此时点P的纵坐标为-3，
x²+2x-3=-3，
整理得，x²+2x=0，
解得x=0或x=-2，
∴点P（-2，-3）；
在x轴上方的点P，使S_△PAB=S_△CAB，此时点P的纵坐标为3，
x²+2x-3=3，
整理得，x²+2x-6=0，
解得x=$\frac{-2±2\sqrt{7}}{2}$=-1±$\sqrt{7}$，
∴点P（-1+$\sqrt{7}$，3）或（-1-$\sqrt{7}$，3）；
故存在点P（-2，-3）或（-1+$\sqrt{7}$，3）或（-1-$\sqrt{7}$，3）使S_△PAB=S_△CAB．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．