Question

【题目】如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB 上一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设， ．

（1）求证： ；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG能否相似？如果能相似，请求出.BP的长，如果不能，请说明理由．

（备用图）

Answer 1

【答案】（1）；（2）（≤≤1）；（3）或.

【解析】试题分析：（1）证△PBF是等边三角形，得到BF=FP．再由等角对等边得到FP=FG，从而得到结论；

（2）由BP=x，∠PGB=30°，得到， .由等边三角形的性质得到BD=1，

从而有DG=2x-1，在△EDG中，得到DG=y，故2x-1=y，从而得到结论．

（3）若△FPE与△EDG相似，分两种情况讨论：①当时；②当时．

试题解析：解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴

又∵PF∥AC，∴，∴△PBF是等边三角形，∴ ．

又∵PG⊥AB，∴，∴ ，∴ .

（2）∵， ， ，∴ ， .

又∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ，∴ ，∴

在△EDG中，∵∠EDG=90°，∠EGD=30°，ED=y，∴DG=y，

∴2x-1=y，∴ （≤≤1）．

（3）能相似，

∵，∴若△FPE与△EDG相似，有两种情况．

①当时，∴EF∥AB，∴，∴，解得： ；

②当时，

∵△BPF是等边三角形，∴，∴ ，∴ ，

∵AD⊥BC，∴， 即，解得： ， ∴BP的长是或