Question

3．已知：如图，四边形ABCD中，BA＜BC，BD平分∠ABC，且DA=DC．求证：∠BAD+∠BCD=180°．

Answer 1

分析 在BC边上取点E，使BE=BA，连结DE．先证明△ABD≌△EBD，依据全等三角形的性质得到∠A=∠BED，DA=DE，然后再证明∠C=∠DEC，因为∠BED+∠DEC=180°，通过等量代换可得到问题的答案．

解答 证明：在BC边上取点E，使BE=BA，连结DE．

∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠EBD
在△ABD和△EBD中$\left\{\begin{array}{l}AB=EB\\∠ABD=∠EBD\\ BD=BD\end{array}\right.$
∴△ABD≌△EBD．
∴∠A=∠BED，DA=DE．
∵DA=DC，
∴DE=DC．
∴∠C=∠DEC．
∵∠BED+∠DEC=180°
∴∠A+∠C=180°即∠BAD+∠BCD=180°．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．