Question

【题目】如图1，在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°．

（1）连接AD，根据 易证△ACD≌△　　　　；

（2）如图2，若E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF，求证：DE=DF；

（3）如图3，在（2）的条件下，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明所归纳结论；

（4）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为“∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α”，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（3）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．

Answer 1

【答案】（1）SSS，ABD；（2）证明见解析；（3）CE＋BG＝EG；（4）当∠EDG＝90°α时，CE＋BG＝EG仍然成立.

【解析】

（1）根据三角形全等的判定即可解答；

（2）根据已知推出∠C＝∠DBF，根据SAS证△DEC≌△DFB即可；

（3）根据△ACD≌△ABD，推出∠CDA＝∠BDA＝60°，推出∠GDF＝60°，得出△DGF≌△DEG，推出FG＝EG即可；

（4）根据（3）的证明过程，要使CE＋BG＝EG仍然成立，则∠EDG＝∠BDA＝∠CDA＝∠CDB，即∠EDG＝（180°α）＝90°α，据此解答即可．

解：（1）连接AD，根据SSS易证△ACD≌△ABD；

（2）∵∠CAB＋∠C＋∠CDB＋∠ABD＝360°，∠CAB＝60°，∠CDB＝120°，

∴∠C＋∠ABD＝180°，

∵∠ABD＋∠DBF＝180°，

∴∠C＝∠DBF，

在△DEC和△DFB中，

，

∴△DEC≌△DFB（SAS），

∴DE＝DF；

（3）CE＋BG＝EG，

证明：如图，连接DA，

∵△ACD≌△ABD（SSS），

∴∠CDA＝∠BDA＝60°，

∵∠EDG＝∠EDA＋∠ADG＝∠ADG＋∠GDB＝60°，

∴∠CDE＝∠ADG，∠EDA＝∠GDB，

∵∠BDF＝∠CDE，

∴∠GDB＋∠BDF＝60°，

在△DGF和△DEG中，

，

∴△DGF≌△DEG（SAS），

∴FG＝EG，

∵CE＝BF，

∴CE＋BG＝EG．

（4）要使CE＋BG＝EG仍然成立，

则∠EDG＝∠BDA＝∠CDA＝∠CDB，

即∠EDG＝（180°α）＝90°α，

∴当∠EDG＝90°α时，CE＋BG＝EG仍然成立．