Question

【题目】已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．
（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．

①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，

∴AB= =2 ，

∵AD=CD=2，

∴BD= =2 ，

由翻折可知，BP=BA=2 ．

②如图1中，

∵△BCD是等腰直角三角形，

∴∠BDC=45°，

∴∠ADB=∠BDP=135°，

∴∠PDC=135°﹣45°=90°，

∴∠BCD=∠PDC=90°，

∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，

∴四边形BCPD是平行四边形．

（2）

如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．

设BD=AD=x，则CD=4﹣x，

在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，

∴x2=（4﹣x）2+22，

∴x= ，

∵DB=DA，DN⊥AB，

∴BN=AN= ，

在Rt△BDN中，DN= = ，

由△BDN∽△BAM，可得 = ，

∴ = ，

∴AM=2，

∴AP=2AM=4，

由△ADM∽△APE，可得 = ，

∴ = ，

∴AE= ，

∴EC=AC﹣AE=4﹣ = ，

易证四边形PECH是矩形，

∴PH=EC= ．

【解析】（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22 ， 推出x= ，推出DN= = ，由△BDN∽△BAM，可得 = ，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得 = ，由此求出AE= ，可得EC=AC﹣AE=4﹣ = 由此即可解决问题．
【考点精析】认真审题，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)，还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键．