Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于G，H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG＝GH＝HC；③2EG＝BG；④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，其中正确的结论是（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据SAS，即可证明①△ABE≌△CDF；在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，根据有一组对边平行且相等四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE是平行四边形，由AD∥BC，即可证明△AGE∽△CGB，△CHF∽△AHD，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG∶CG＝EG∶BG＝1∶2，CH∶AH＝1∶2，即可证得②AG＝GH＝HC，③2EG＝BG；由S△ABG＝2S△AEG，S四边形GHDE＝3S△AEG，可得结论④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3．

解：在平行四边形ABCD中，

AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，BC＝DA，

∵E，F分别是边AD，BC的中点，

∴AE＝CF，

∴△ABE≌△CDF，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AGE∽△CGB，△CHF∽△AHD，

∴AG∶CG＝EG∶BG＝AE∶CB，CH∶AH＝CF∶AD，

∵E，F分别是边AD，BC的中点，

∴AE＝AD，CF＝BC，

∴AE∶CB＝1∶2，CF∶AD＝1∶2，

∴EG∶BG＝AG∶CG＝1∶2，CH∶AH＝1∶2

∴AG＝CH＝AC，2EG＝BG，故③正确；

∴AG＝GH＝HC，故②正确；

∵S△ABG＝2S△AEG，S四边形GHDE＝3S△AEG，

∴S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，故④正确，

故选：D