Question

【题目】以正方形的边作等边三角形，则的度数是______________ ．

Answer 1

【答案】30°或150°

【解析】

如果要求的度数，则要分两种情况讨论，第一种点在正方形的内部，第二种情况点在正方形的外部，作图如下，利用正方形和等边三角形的性质及三角形内角和分别求出∠AEB和∠DEC的度数，图(1)是∠BEC＝60°﹣（∠AEB+∠DEC），图(2)是∠BEC＝360°﹣∠AEB﹣∠AED﹣∠DEC即可求解．

解：如图（1）中，当点E在正方形ABCD外时，

在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB∥CD，

在等边△ADE中，AD＝DE＝AE，∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，

∴AB＝AE＝CD＝DE；

∵AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB＝（180°-∠BAE）＝（180°-90°-60°）＝15°；

同理可证∠DCE＝∠DEC＝15°，

∴在△AED中，

∠BEC＝60°-（∠AEB+∠DEC）＝60°﹣30°＝30°．

∴∠BEC的度数是30°．

如图（2），当点E在正方形ABCD内时，

同理，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，

∴∠BAE＝∠CDE＝30°；

∵AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣30°）＝75°；

同理∠DCE＝∠DEC＝（180°﹣30°）＝75°；

根据周角的定义，∠BEC＝360°﹣∠BEA﹣∠AED﹣∠DEC＝360°﹣75°﹣60°﹣75°＝150°．

故答案是：30°或150°．