Question

【题目】定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.

（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，
①若AB=CD=1，AB//CD，求对角线BD的长.
②若AC⊥BD，求证：AD=CD.
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.

Answer 1

【答案】
（1）

解：①因为AB=CD=1，AB//CD,

所以四边形ABCD是平行四边形.

又因为AB=BC，

所以□ABCD是菱形.

又因为∠ABC=90度，

所以菱形ABCD是正方形.

所以BD= .

②如图1，连结AC，BD，

因为AB=BC，AC⊥BD，

所以∠ABD=∠CBD,

又因为BD=BD，

所以△ABD△CBD，

所以AD=CD.

（2）

解：若EF与BC垂直，则AE≠EF，BF≠EF，

所以四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件；

若EF与BC不垂直，

①当AE=AB时，如图2，

此时四边形ABFE是等腰直角四边形.

所以AE=AB=5.

②当BF=AB时，如图3，

此时四边形ABFE是等腰直角四边形.

所以BF=AB=5，

因为DE//BF，

所以△PED~△PFB，

所以DE：BF=PD：PB=1:2,

所以AE=9-2.5=6.5.

综上所述，AE的长为5或6.5.

【解析】（1）①由AB=CD=1，AB//CD,根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形ABCD是平行四边形.由邻边相等AB=BC，有一直角∠ABC=90度，所以菱形ABCD是正方形.则BD= ；②连结AC，BD，由AB=BC，AC⊥BD，可知四边形ABCD是一个筝形，则只要证明△ABD△CBD，即可得到AD=CD.（2）分类讨论：若EF与BC垂直，明示有AE≠EF，BF≠EF，即EF与两条邻边不相等；由∠A=∠ABC=90°，可分类讨论AB=AE时，AB=BF时去解答.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的判定的相关知识，掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．