Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义：
点P（x，m）是图形G1上的任意一点，点Q（x，n）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k≠0）满足m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y=kx+b（k≠0）是图形G1与G2的“隔离直线”．
如图1，直线l：y=﹣x﹣4是函数y= （x＜0）的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”．

（1）在直线y1=﹣2x，y2=3x+1，y3=﹣x+3中，是图1函数y= （x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为；
请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式：；
（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是（ ，1），⊙O的半径为2．是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；

（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心．若存在直线y=2x+b是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）y1=﹣2x；y=﹣3x
（2）

连接OD，过点D作DG⊥x轴于点G，如图．

在Rt△DGO中，OD= =2，

sin∠1= = ，

∴∠1=30°，∠2=60°，

∵⊙O的半径为2，

∴点D在⊙O上．

过点D作DH⊥OD交y轴于点H，

∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．

在Rt△ODH中，OH= =4，

∴点H的坐标是（0，4），

∴直线DH的表达式为y=﹣ x+4，

即所求“隔离直线”的表达式为y=﹣ x+4

（3）

如图，

由题意F（4，5），当直线y=2x+b经过点F时，5=8+b，

∴b=﹣3，

∴直线y=2x﹣3，即图中直线EF，

∵正方形A1B1C1D1的中心M（1，t），

易知正方形正方形A1B1C1D1的边长为2，

当x=2时，y=1，

∴C1（2，1），直线EF是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，此时t=2，

当直线y=2x+b与y=x2﹣2x﹣3只有一个交点时，

消去y得到x2﹣4x﹣3+b=0，

由△=0，可得16﹣4（﹣3﹣b）=0，

解得b=﹣7，

此时易知M（1，﹣8），t=﹣8，

根据图象可知，当t≥2或t≤﹣8时，直线y=2x+b是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”

【解析】解：（1）根据的“隔离直线”的定义可知y1=﹣2x，是图1函数y= （x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”，直线y=﹣3x也是图1函数y= （x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”，所以答案是y1=﹣2x，y=﹣3x．