Question

5．如图，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE．
（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．
（2）若正方形GFED绕D旋转到如图3的位置（F在线段AD上）时，延长CE交AG于H，交AD于M，
①求证：AG⊥CH；
②当AD=4，DG=$\sqrt{2}$时，求CH的长．
（3）在（2）的条件下，在如图所示的平面上，是否存在以A、G、D、N为顶点的四边形为平行四边形的点N？如果存在，请在图中画出满足条件的所有点N的位置，并直接写出此时CN的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用SAS证△ADG≌△CDE即可；
（2）①同样先证明△ADG≌△CDE，得出∠DAG=∠DCE，而∠DCM+∠DMC=90°，从而∠DAG+∠AMH=90°，结论显然；
②连接AC、CG，注意到DG∥AC，△GAC与△DAC的面积相等，于是考虑用等积变换，求出AG即可求出CH；
（3）A、C、G三点固定，将△ACG每边作为平行四边形的对角线就得出三种情况，画出相应的图形，相应的CN长可直接算出；

解答 解：（1）成立．如图2，

∵∠CDE+∠EDA=∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠ADG=∠CDE，
在△ADG和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=DE}\\{∠ADG=∠CDE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG=CE；
（2）如图3，过点E作EP⊥CD于点P，连接AC，

①同（1）可证△ADG≌△CDE，
∴∠DAG=∠DCE，
∵∠DCM+∠DMC=90°，
∴∠DAG+∠AMH=90°，
∴AG⊥CH；
②∵∠EDF=∠EDC=45°，DG=$\sqrt{2}$，
∴DP=EP=1，
∵CD=AD=4，
∴CP=3，
∴CE=$\sqrt{10}$，
∴AG=$\sqrt{10}$，
∵∠DAC=∠ADG=45°，
∴DG∥AC，
∴S_△AGC=S_△ADC=$\frac{1}{2}×4×4$=8，
∵${S}_{△AGC}=\frac{1}{2}×AG×CH$，
∴$CH=\frac{16}{\sqrt{10}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}$；
（3）①如图4，NADG是平行四边形，

此时，CN=CA+AN=CA+DG=$4\sqrt{2}+\sqrt{2}$=$5\sqrt{2}$；
②如图5，ANDG是平行四边形，

此时，CN=CA-AN=CA-DG=$4\sqrt{2}-\sqrt{2}$=$3\sqrt{2}$；
③如图6，GADN是平行四边形，延长CD交GN于点R，

则CR=CD+RD=4+1=5，
RN=GN-GR=4-1=3，
∴CN=$\sqrt{C{R}^{2}+R{N}^{2}}$=$\sqrt{34}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和性质、等积变换、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，难度较大．第（2）小题证明AG⊥CH体现全等三角形的重要性质，即两个全等三角形只要有一组对边是相互垂直的，那么剩下两组对应边也是相互垂直的，在一些大型的题目中可直接使用这个性质；本题求CH的长度使用了等积变换方法，大大减少了运算量，如果不用等积变换而采用相似等其它手段则运算要复杂得多；至于第（3）小题找平行四边形的关键是知道有三个点是固定的，那么只需要将这三个点所形成的三角形的三边分别作为平行四边形对角线即可迅速画出三种情况，并且求CN的长也是很容易的．