Question

【题目】定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同的向量:、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）

⑴作两个相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值；

⑵作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值；

⑶作个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值；

⑷作个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值。

Answer 1

【答案】⑴ ；⑵ ；⑶；⑷.

【解析】

（1）根据图形，即可求得f（2）的值；

（2）首先求f（1），f（2），f（3），f（4），所以得到规律为：f（n）=6n+2；

（3）根据图形，即可求得f（2×3）的值；

（4）先分析特殊情况，再求得规律：f（m×n）=2（m+n）+4mn．

（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f（2）=14；

（2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律，

∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26，

∴f（n）=6n+2；

（3）f（2×3）=34；

（4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62

∴f（m×n）=2（m+n）+4mn．