【题目】已知如图,是圆
直径,
是圆
的切线,切点为
,
平行于弦
,
,
的延长线交于点
,若
,且
,
的长是关于
的方程
的两个根
证明:
是圆
的切线;
求线段
的长;
求
的值.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)如图由BC是直径,BE是
的切线,得到∠EBO=90°,根据平行线和等腰三角形的性质,得到∠1=∠4,通过全等三角形证得.
(2)根据一元二次方程的根与系数的关系,求得AD的长,由切割线定理求出AB的长,得到圆的直径,然后在Rt△ABE中,根据勾股定理求出BE的长,
(3)则中,即可求得∠AEO的正切值,由于∠ADC=∠AEO,由此可求出∠ADC的正切值.
解:证明:如图,
∵是
直径,
是
的切线,
∴,
∵,
∴,
,
∵,
∴,
∴,
在与
中,
,
∴,
∴,
∴,
∴是
的切线;
∵
,
的长是关于
的方程
的两个根,
,
∴,
由切割线定理得:,
∴,
由证得
,
∴,
∴,
∴;
∵
,
,
∴,
∵,
∴,
∴.
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【题目】(11·漳州)(满分8分)漳州市某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试,为了解测试结果,随机抽取部分学生的成绩进行分析,将成绩分为三个等级:不合格、一般、优秀,并绘制成如下两幅统计图(不完整).请你根据图中所给的信息解答下列问题:
(1)请将以上两幅统计图补充完整;
(2)若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩,则该校被抽取的学生中有_ ▲ 人达标;
(3)若该校学生有1200人,请你估计此次测试中,全校达标的学生有多少人?
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【题目】如图,四边形中,
,
,
是
的中点,连结
并延长交
的延长线于点
.
图中
可以由________绕点________旋转________后得到;
若
,
,
,求
的面积.
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【题目】综合与探究:
将三角形纸板如图放置,点P是边AB边上一点,DF∥CE,∠PCE=∠α,∠PDF=∠β,
探究:
(1)如果α=30°,β=40°,则∠DPC=___________.
猜想:
(2)当点P在E、F两点之间运动时,∠DPC与α、β之间有何数量关系?并说明理由;
拓展:
(3)如果点P在E、F两点外侧运动时(点P与点A、B、E、F四点不重合),上述(2)中的结论是否还成立?并说明理由.
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【题目】小迪同学在学勾股定理时发现一类特殊三角形:在一个三角形中,如果一个角是另一个角的2倍,那么称这个三角形为“倍角三角形”.
如图1,在倍角中,
,
、
、
的对边分别记为
,
,
,三角形的三边
,
,
有什么关系呢?让我们一起来探索……
(1)已知“倍角三角形”的一个内角为,则这个三角形的另两个角的度数分别为______
(2)小迪同学先从特殊的“倍角三角形”入手研究,请你结合图2和图3填写下表:
三角形 | 角的已知量 | ||
图2 | ______ | ______ | |
图3 | ______ |
小迪同学根据上表,提出一般性猜想:在“倍角三角形”中,,那么
,
,
三边满足:______;
(3)如图1:在倍角三角形中,,
、
、
的对边分别记为
,
,
,求证:
.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象经过点A(
,
),且与正比例函数
的图象交于点B(
,
).
(1)求的值及一次函数
的解析式;
(2)若一次函数的图象与x轴交于点C,且正比例函数
的图象向下平移m(m>0)个单
位长度后经过点C,求m的值;
(3)直接写出关于x的不等式的解集.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=(
),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。
(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含的式子表示);
(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;
(3)在(2)的条件下,连结DE,若∠DEC=45°,求的值。
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【题目】如图:在平面直角坐标系中A(3,2),B(4,3),C(1,1).
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1;
(2)写出A1、B1、C1的坐标分别是A1(___,___),B1(___,___),C1(___,___);
(3)△ABC的面积是___.
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