Question

【题目】综合与探究：

将三角形纸板如图放置，点P是边AB边上一点，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，

探究:

(1)如果α=30°，β=40°，则∠DPC=___________.

猜想：

(2)当点P在E、F两点之间运动时，∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；

拓展：

(3)如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），上述（2）中的结论是否还成立？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）70°；（2）∠DPC=α+β，证明详见解析；（3）∠DPC=β –α或∠DPC= α -β

【解析】

（1）过P点作GH∥DF，可得GH∥CE，根据“两直线平行，内错角相等” 解答即可；

（2）过P点作GH∥DF，可得GH∥CE，根据“两直线平行，内错角相等” 解答即可；

（3）过P点作PH∥DF，可得PH∥CE，分P点在直线CE上方、DF下方两种情况，根据“两直线平行，内错角相等” 解答即可；

（1）过P点作GH∥DF，

∵DF∥CE,

∴GH∥CE

∴∠PCE=∠CPG=α， ∠PDF=∠GPD=β

∵∠DPC=∠CPG+∠GPD =α+β

∵α=30°，β=40°

∴∠DPC=70°

故答案为：70°

（2）∠DPC=α+β，理由是：

如图，过P点作GH∥DF，

∵DF∥CE

∴GH∥CE

∴∠PCE=∠CPG=α， ∠PDF=∠GPD=β

∵∠DPC=∠CPG+∠GPD =α+β

（3）（2）中的结论不成立，理由是：

如图，过P作PH∥DF

（图1）

∵DF∥CE

∴PH∥CE

∴∠PCE=∠1=α

∵∠FDP=∠2=β

∵∠DPC=∠FDP-∠PCE=∠2-∠1=β -α.

如图2，过P作PH∥DF

（ 图2）

∵DF∥CE

∴PH∥CE

∴∠PCE=∠1=α

∵∠FDP=∠2=β

∵∠DPC=∠PCE-∠FDP=∠1-∠2=α -β.

故（2）中的结论不成立.