【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,经过C作CD⊥AB于点D,CF是⊙O的切线,过点A作AE⊥CF于E,连接AC.
(1)求证:AE=AD.
(2)若AE=3,CD=4,求AB的长.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)连接OC,根据垂直定义和切线性质定理证出△CAE≌△CAD(AAS),得AE=AD;(2)连接CB,由(1)得AD=AE=3,根据勾股定理得:AC=5,由cos∠EAC=,cos∠CAB==,∠EAC=∠CAB,得=.
(1)证明:连接OC,如图所示,
∵CD⊥AB,AE⊥CF,
∴∠AEC=∠ADC=90°,
∵CF是圆O的切线,
∴CO⊥CF,即∠ECO=90°,
∴AE∥OC,
∴∠EAC=∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠EAC=∠CAO,
在△CAE和△CAD中,
,
∴△CAE≌△CAD(AAS),
∴AE=AD;
(2)解:连接CB,如图所示,
∵△CAE≌△CAD,AE=3,
∴AD=AE=3,
∴在Rt△ACD中,AD=3,CD=4,
根据勾股定理得:AC=5,
在Rt△AEC中,cos∠EAC==,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∴cos∠CAB==,
∵∠EAC=∠CAB,
∴=,即AB=.
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【题目】(1)问题背景
如图①,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AB=AC,P为上一动点(不与B,C重合),
求证:PA=PB+PC.
请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.
(2)类比迁移
如图②,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,求OC的最小值.
(3)拓展延伸
如图,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,则OC的最小值为 .
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【题目】将抛物线c1: 沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示.
(1)请直接写出抛物线c2的表达式;
(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与轴的交点从左到右依次为D、E.
①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;
②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四边形中,,,是的中点,连结并延长交的延长线于点.
图中可以由________绕点________旋转________后得到;
若,,,求的面积.
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【题目】如图,剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起,转动其中一张,重合部分构成一个四边形,则下列结论中不一定成立的是( )
A. ∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD B. AB=BC
C. AB=CD,AD=BC D. ∠DAB+∠BCD=180°
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【题目】综合与探究:
将三角形纸板如图放置,点P是边AB边上一点,DF∥CE,∠PCE=∠α,∠PDF=∠β,
探究:
(1)如果α=30°,β=40°,则∠DPC=___________.
猜想:
(2)当点P在E、F两点之间运动时,∠DPC与α、β之间有何数量关系?并说明理由;
拓展:
(3)如果点P在E、F两点外侧运动时(点P与点A、B、E、F四点不重合),上述(2)中的结论是否还成立?并说明理由.
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【题目】小迪同学在学勾股定理时发现一类特殊三角形:在一个三角形中,如果一个角是另一个角的2倍,那么称这个三角形为“倍角三角形”.
如图1,在倍角中,,、、的对边分别记为,,,三角形的三边,,有什么关系呢?让我们一起来探索……
(1)已知“倍角三角形”的一个内角为,则这个三角形的另两个角的度数分别为______
(2)小迪同学先从特殊的“倍角三角形”入手研究,请你结合图2和图3填写下表:
三角形 | 角的已知量 | ||
图2 | ______ | ______ | |
图3 | ______ |
小迪同学根据上表,提出一般性猜想:在“倍角三角形”中,,那么,,三边满足:______;
(3)如图1:在倍角三角形中,,、、的对边分别记为,,,求证:.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=(),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。
(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含的式子表示);
(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;
(3)在(2)的条件下,连结DE,若∠DEC=45°,求的值。
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【题目】从某校参加科普知识竞赛的学生试卷中,抽取一个样本了解竞赛成绩的分布情况,将样本分成、、、、五个组,绘制成如图所示的频数分布直方图,图中、、、、各小组的长方形的高的比是,且组的频数是,请结合直方图提供的信息,解答下列问题.
通过计算说明,样本数据中,中位数落在哪个组?并求该小组的频率;
估计该校在这次竞赛中,成绩高于分的学生人数占参赛人数的百分比.
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